【位相空間論】3つの元の集合に入る位相

タイトルの通りです。
松坂集合位相の読者の練習問題になってるものの中でも特にどうでもいい方の話題。
裏紙にメモ書きしてたけど邪魔になったのでここに書いた。

解きたいもの
考え方
答え
- とりあえず自明なやつ
- 型
- 型
- 型
- 型
- 型
- 型
- 型
- 最後に自明なやつ
最後に

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解きたいもの

集合 $S = \{ p, q, r \}$ における位相をすべて求めよ。(全部で 29 種類ある)

考え方

位相の定義は次のようでした。

$X$ を空でない集合, $\mathfrak{O}$ を $X$ の部分集合系 (冪集合 $\mathfrak{P} (X)$ の部分集合) とする。 $\mathfrak{O}$ が次を満たすとき、 $\mathfrak{O}$ は $X$ の位相であるという。

$\ \emptyset, X \in \mathfrak{O}.$

$\ O_1,O_2 \in \mathfrak{O} \Longrightarrow O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O}.$

$\ \forall (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \subset \mathfrak{O} , \quad \displaystyle \bigcup_{\lambda\in\Lambda} O_\lambda \in \mathfrak{O}.$

$X$ と $\mathfrak{O}$ の組 $(X, \mathfrak{O})$ を 位相空間 という。

2 番目は $\forall O_1, O_2 \in \mathfrak{O}, \quad O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O}$ とも書けますね。
3 番目に出てくる $\Lambda$ は $\forall \lambda \in \Lambda , \ O_\lambda \in \mathfrak{O}$ となるような任意の添え字の集合だと思えばいいです。

$S = \{ p, q, r \}$ の位相を実際に列挙するにはこの定義に従うほかありません。全部で 29 個あることは知っておいてもいいかもしれませんね*1。

実際に書き下すときは

とりあえず $\emptyset$ と $S$ を入れておき
中身のどの 2 つの共通部分をとったやつもその中に入っているように注意し
中身で適当な和集合をとったやつもその中に入っているように注意する

とできます。
まあ言葉で説明するより体で慣れる方が良いと思うので早速やってみましょう。

答え

凄く読みにくいです。
私の生ゴミのような解説を読むより、貴方方の聡明な頭脳で導かれた答えと確認するようにした方が良いかもしれません。
(今更だけどそもそもこんな記事存在意義あるのか？)

とりあえず自明なやつ

$\emptyset$ と $S$ さえ入っていればいいので

$\{ \emptyset, S \}$

がまず思い浮かぶわけですが、これが 2, 3 番目の条件を満たしているのは明らかです。
これは位相の中で最も粗く 密着位相 と呼ばれています。

ここまでで暫定 1 種類。

$\{ \emptyset, \{ p \}, S \}$ 型

この辺りから (というか初っ端だけど) 言葉で説明するより心で感じてもらえた方が良いので "型" として列挙することにします。
先ほどの $\{ \emptyset, S \}$ に元 1 個の集合を加えたものも $S$ の位相になってます。

$\{ \emptyset, \{ p \}, S \}$
$\{ \emptyset, \{ q \}, S \}$
$\{ \emptyset, \{ r \}, S \}$

このタイプは 3 種類。暫定 4 種類。

$\{ \emptyset, \{ p, q \}, S \}$ 型

$\{ \emptyset, S \}$ に元 2 個の集合を 1 つ加えたものも位相になっていますね。

$\{ \emptyset, \{ p, q \}, S \}$
$\{ \emptyset, \{ q, r \}, S \}$
$\{ \emptyset, \{ r, p \}, S \}$

このタイプも 3 種類。暫定 7 種類。

密着位相に集合 1 つ加えてできる位相はこれですべてですね。

$\{ \emptyset, \{ p \}, \{ p, q \}, S \}$ 型

密着位相に集合を 2 つ加えたもの辺りから色々頭を働かせなければならなくなりますね。
まず思いつくのが元 1 つの集合 (ex: $\{ p \}$ ) と、その元と共通するものを含む元 2 つの集合 (ex: $\{ p, q \}$ ) を加えたもの。
このタイプもちゃんと位相になっていて、全部で 6 種類ありますね。