あかり描像のブログ

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確率変数メモ

数学備忘録統計検定

以下では, $X, Y, Z, W$ を確率変数, $a, b, c, d$ を定数とする.

確率変数

分散 (variance)

定義

$V \lbrack X \rbrack = E \lbrack X^2 \rbrack - E \lbrack X \rbrack^2.$

性質

$V \lbrack aX + bY \rbrack = a^2V \lbrack X \rbrack + 2ab \, \mathrm{Cov} (X, Y) + b^2 V \lbrack Y \rbrack.$

共分散 (covariance)

定義

$\mu_X = E \lbrack X \rbrack, \quad \mu_Y = E \lbrack Y \rbrack \,$ とすると
$\mathrm{Cov} (X, Y) = E \lbrack (X-\mu_X)(Y-\mu_Y) \rbrack.$

性質

この辺が参考になる

$\mathrm{Cov} (X, Y) = E \lbrack XY \rbrack - E \lbrack X \rbrack E \lbrack Y \rbrack.$
$\mathrm{Cov} (X, X) = V \lbrack X \rbrack.$
$\mathrm{Cov} (X + c, Y) = \mathrm{Cov} (X, Y).$
- つまり多項式の展開みたいなことができる *1 :

$\mathrm{Cov} (aX+bY, cZ+dW) \\ \qquad = ac\,\mathrm{Cov} (X, Z) + ad\,\mathrm{Cov}(X, W) + bc\,\mathrm{Cov}(Y, Z) + bd\,\mathrm{Cov}(Y, W).$

戯言

HackMD から移行しようと思ったが、はてブロがあまりにも LaTeX を打つのに向いてないから、もうやらない可能性が高い。

*1:ただし定数項が消える点は注意